Calculadora de fracciones

Las fracciones tienen una exactitud que los decimales no tienen. Un tercio es 1/3; en decimal es 0.333… truncado en algún punto, y es justo en esa truncación donde nacen los errores. La calculadora de arriba suma, resta, multiplica y divide dos fracciones y siempre devuelve el resultado simplificado al máximo, junto con su valor decimal para que puedas compararlo.

Cómo funciona

Introduce un numerador y un denominador para la fracción A, elige una operación y haz lo mismo con la fracción B. Los cuatro campos deben contener números enteros: un decimal en el numerador se rechaza en lugar de redondearse en silencio, porque 1.5/2 es una forma ambigua de escribir 3/4, y adivinar sería peor que preguntar.

La aritmética es la multiplicación cruzada de toda la vida:

• Sumar / restar — a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd
• Multiplicar — a/b × c/d = ac / bd
• Dividir — a/b ÷ c/d = ad / bc

Después, el resultado en bruto se simplifica dividiendo ambos términos entre su máximo común divisor, que se obtiene con el algoritmo de Euclides. Dos normalizaciones mantienen la salida limpia: el signo negativo siempre pasa al numerador, así que obtienes -1/2 y no 1/-2, y un resultado nulo se muestra como 0/1 en lugar del -0 que la aritmética de coma flotante produciría para 1/2 + 1/-2.

Hay dos entradas que se rechazan directamente: un denominador igual a cero en cualquiera de las fracciones y la división entre una fracción cuyo numerador es cero. Ambos casos están realmente indefinidos, así que la herramienta te lo indica en lugar de devolver Infinity.

Por qué importa la aritmética exacta

El decimal que aparece junto al resultado es una ayuda, no la respuesta. 1/3 + 1/3 + 1/3 es exactamente 1 como fracciones; suma 0.3333 tres veces y obtienes 0.9999. Repite eso dentro de un bucle y la desviación se acumula.

Es el mismo problema que hace que 0.1 + 0.2 === 0.3 sea falso en cualquier lenguaje que use doubles IEEE 754, incluidos JavaScript, Java y Python. La coma flotante binaria puede representar con exactitud mitades, cuartos y octavos, pero no décimas, de modo que cualquier denominador con un factor 5 es aproximado desde el momento en que lo escribes.

La respuesta práctica es no almacenar esos valores como números en coma flotante. Las bases de datos relacionales distinguen entre DECIMAL/NUMERIC, que guardan los dígitos de forma exacta, y FLOAT/DOUBLE, que guardan una aproximación; elegir el segundo tipo para una columna monetaria o de medidas es un defecto que aflora meses después en forma de totales descuadrados por un céntimo. Buenas prácticas de SQL explica cómo elegir tipos numéricos y los problemas de comparación que vienen después, y diseño de bases de datos y normalización muestra cómo encajan esas decisiones de columnas en un esquema en el que puedas seguir confiando tras unos cuantos años de cambios.

Notas prácticas

Las fracciones impropias siguen siendo impropias. 3/2 se devuelve como 3/2, no como 1 1/2. Los números mixtos son una convención de presentación, y convertir de un formato a otro es donde se cuelan los errores de signo. Para introducir un número mixto, conviértelo tú antes: 2 3/4 es 11/4.

Los números enteros también son fracciones. Escribe 5/1 para combinar un entero con una fracción; resulta útil para saber «cuánto queda del lote después de retirar 5 unidades».

Valores grandes. La multiplicación cruzada multiplica los denominadores, así que encadenar varias operaciones a mano puede hacer crecer los números muy deprisa. El resultado siempre se simplifica al final, pero si tus denominadores ya rondan los millones, simplifica cada paso antes de volver a introducirlo.

Para la pregunta afín de reducir 8:12 a 2:3, o de escalar una receta, la calculadora de proporciones usa la misma reducción por máximo común divisor, con dos puntos en lugar de una barra.