Calculadora de frações

Frações são exatas de um jeito que os decimais não são. Um terço é 1/3; em decimal, vira 0.333… truncado em algum ponto, e é justamente nesse truncamento que os erros aparecem. A calculadora acima soma, subtrai, multiplica e divide duas frações e sempre devolve o resultado na forma irredutível, junto com o valor decimal para comparação.

Como funciona

Informe um numerador e um denominador para a fração A, escolha uma operação e faça o mesmo para a fração B. Os quatro campos precisam ser números inteiros: um decimal no numerador é rejeitado em vez de arredondado silenciosamente, porque 1.5/2 é uma forma ambígua de escrever 3/4, e adivinhar seria pior do que perguntar.

A conta é a boa e velha multiplicação cruzada da escola:

• Somar / subtrair — a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd
• Multiplicar — a/b × c/d = ac / bd
• Dividir — a/b ÷ c/d = ad / bc

Em seguida, o resultado bruto é simplificado dividindo os dois termos pelo máximo divisor comum, calculado com o algoritmo de Euclides. Duas normalizações deixam a saída limpa: o sinal negativo vai sempre para o numerador, então você recebe -1/2 em vez de 1/-2, e um resultado nulo aparece como 0/1 em vez do -0 que a aritmética de ponto flutuante produziria para 1/2 + 1/-2.

Duas entradas são recusadas logo de cara: um denominador zero em qualquer uma das frações e a divisão por uma fração cujo numerador é zero. Os dois casos são de fato indefinidos, então a ferramenta avisa você em vez de retornar Infinity.

Por que a aritmética exata importa

O decimal exibido ao lado do resultado é uma conveniência, não a resposta. 1/3 + 1/3 + 1/3 é exatamente 1 em frações; some 0.3333 três vezes e você obtém 0.9999. Repita isso dentro de um loop e o desvio se acumula.

É o mesmo problema que torna 0.1 + 0.2 === 0.3 falso em qualquer linguagem que use doubles IEEE 754, incluindo JavaScript, Java e Python. O ponto flutuante binário consegue representar metades, quartos e oitavos com exatidão, mas não décimos, então qualquer denominador com fator 5 já é aproximado no instante em que você o digita.

A saída prática é não armazenar esses valores como ponto flutuante. Bancos de dados relacionais distinguem DECIMAL/NUMERIC, que guardam os dígitos de forma exata, de FLOAT/DOUBLE, que guardam uma aproximação; escolher o segundo para uma coluna monetária ou de medições é um defeito que só aparece meses depois, na forma de totais que não batem por um centavo. Boas práticas de SQL mostra como escolher tipos numéricos e as armadilhas de comparação que vêm em seguida, e modelagem de banco de dados e normalização explica como essas escolhas de coluna se encaixam em um schema em que você ainda possa confiar depois de alguns anos de mudanças.

Observações práticas

Frações impróprias continuam impróprias. 3/2 é devolvido como 3/2, não como 1 1/2. Números mistos são uma convenção de exibição, e converter de um lado para o outro é onde os erros de sinal se infiltram. Para informar um número misto, converta-o antes: 2 3/4 é 11/4.

Números inteiros são frações. Digite 5/1 para combinar um inteiro com uma fração, o que ajuda a responder perguntas como "quanto sobra do lote depois de retirar 5 unidades".

Valores grandes. A multiplicação cruzada multiplica os denominadores, então encadear várias operações à mão pode fazer os números crescerem rápido. O resultado é sempre simplificado no fim, mas, se os seus denominadores já estão na casa dos milhões, simplifique cada etapa antes de usá-la de novo.

Para a questão parecida de reduzir 8:12 a 2:3, ou de ajustar as quantidades de uma receita, a calculadora de razão usa a mesma redução pelo máximo divisor comum, com dois-pontos em vez de barra.