Calculatrice de fractions

Les fractions sont exactes, là où les décimaux ne le sont pas. Un tiers s’écrit 1/3 ; en décimal, cela donne 0.333… tronqué quelque part, et c’est précisément cette troncature qui introduit les erreurs. Le calculateur ci-dessus additionne, soustrait, multiplie et divise deux fractions, et renvoie toujours le résultat sous forme irréductible, accompagné de sa valeur décimale pour comparaison.

Comment ça marche

Saisissez un numérateur et un dénominateur pour la fraction A, choisissez une opération, puis faites de même pour la fraction B. Les quatre champs doivent contenir des nombres entiers : un décimal au numérateur est refusé plutôt qu’arrondi en silence, car 1.5/2 est une façon ambiguë d’écrire 3/4, et deviner serait pire que de vous demander.

Le calcul repose sur le produit en croix appris à l’école :

• Addition / soustraction — a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd
• Multiplication — a/b × c/d = ac / bd
• Division — a/b ÷ c/d = ad / bc

Le résultat brut est ensuite simplifié en divisant ses deux termes par leur plus grand commun diviseur, obtenu avec l’algorithme d’Euclide. Deux normalisations garantissent une sortie propre : le signe négatif est toujours placé au numérateur, si bien que vous obtenez -1/2 et non 1/-2, et un résultat nul est affiché 0/1 plutôt que le -0 que l’arithmétique à virgule flottante produirait autrement pour 1/2 + 1/-2.

Deux saisies sont purement et simplement refusées : un dénominateur nul dans l’une ou l’autre fraction, et la division par une fraction dont le numérateur vaut zéro. Ces deux cas sont réellement indéfinis ; l’outil vous le signale donc au lieu de renvoyer Infinity.

Pourquoi l’arithmétique exacte compte

La valeur décimale affichée à côté du résultat est une commodité, pas la réponse. 1/3 + 1/3 + 1/3 vaut exactement 1 en fractions ; additionnez trois fois 0.3333 et vous obtenez 0.9999. Répétez l’opération dans une boucle, et l’écart s’accumule.

C’est le même problème qui rend 0.1 + 0.2 === 0.3 faux dans tous les langages qui utilisent les doubles IEEE 754, dont JavaScript, Java et Python. La virgule flottante binaire représente exactement les demis, les quarts et les huitièmes, mais pas les dixièmes : tout dénominateur comportant un facteur 5 devient approximatif dès l’instant où vous le saisissez.

La réponse pragmatique consiste à ne jamais stocker ce genre de valeur en virgule flottante. Les bases de données relationnelles distinguent DECIMAL/NUMERIC, qui stockent les chiffres exactement, de FLOAT/DOUBLE, qui en stockent une approximation ; choisir le second type pour une colonne monétaire ou de mesure est un défaut qui ne se révèle que des mois plus tard, sous la forme de totaux décalés d’un centime. Les bonnes pratiques SQL expliquent comment choisir ses types numériques et quels pièges de comparaison en découlent, et la conception de bases de données et la normalisation montre comment ces choix de colonnes s’inscrivent dans un schéma auquel on peut encore se fier après quelques années d’évolutions.

Remarques pratiques

Les fractions impropres restent impropres. 3/2 est renvoyé tel quel, et non sous la forme 1 1/2. Les nombres fractionnaires ne sont qu’une convention d’affichage, et les conversions dans un sens puis dans l’autre sont la porte ouverte aux erreurs de signe. Pour saisir un nombre fractionnaire, convertissez-le vous-même au préalable : 2 3/4 devient 11/4.

Les entiers sont des fractions. Saisissez 5/1 pour combiner un entier avec une fraction, par exemple pour savoir quelle part du lot il reste après en avoir retiré 5 unités.

Grandes valeurs. Le produit en croix multiplie les dénominateurs entre eux ; enchaîner plusieurs opérations à la main peut donc faire grossir les nombres très vite. Le résultat est toujours simplifié ensuite, mais si vos dénominateurs se comptent déjà en millions, simplifiez chaque étape avant de la réinjecter.

Pour la question voisine qui consiste à réduire 8:12 en 2:3, ou à adapter une recette, le calculateur de ratio applique la même réduction par le plus grand commun diviseur, avec deux-points au lieu d’une barre oblique.